Derivadas

DERIVADA DE UNA CONSTANTE

Una función constante es aquella que no depende de ninguna variable y su derivada siempre será cero.

f(x)= k                                                                                                                                     f´(x)=0

Ejemplo:

f(x) = 7

f ´(x) = 0

DERIVADA DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL 

Es igual a la misma función por el logaritmo neperiano de la base y por la derivada del exponente..

F(x) = a^u                      f´(x) = u^t. a^u .lna 
Ejemplo: 

Derivada de un producto

La derivada de un producto de dos funciones es equivalente a la suma entre el producto de la primera función sin derivar y la derivada de la segunda función y el producto de la derivada de la primera función por la segunda función

Consideremos la siguiente función como ejemplo:

h(x) = (4x + 2)(3x⁷ + 2)

Identificamos a f(x) = (4x + 2) y g(x) = (3x⁷ + 2), utilizando las reglas anteriormente expuestas, vemos que:

f'(x) = 4 y que g'(x) = 21x⁶

Por lo tanto

Simplificando y organizando el producto obtenido nos queda

h'(x) = 84x⁷ + 12x⁷ + 42x⁶ + 8

Sumamos términos semejantes y finalmente obtenemos la derivada:

h'(x) = 96x⁷ + 42x⁶ + 8

DERIVADA DE UN COCIENTE

Es decir:

"La derivada de un cociente de dos funciones es la función ubicada en el denominador por la derivada del numerador menos la derivada de la función en el denominador por la función del numerador sin derivar, todo sobre la función del denominador al cuadrado"

Este caso se relaciona mucho con la regla de derivada de un producto, pero hay que tener en cuenta la resta y el orden de los factores. Pero ya explicando lo dicho anteriormente consideremos como ejemplo la siguiente función:

Ahora se trabaja el enunciado anterior el cual nos dice que multipliquemos el denominador que en este caso es g(x) = 2x y se multiplique por la derivada del numerador que seria f'(x) = 3; luego la segunda parte dice que tomemos la función del numerador (f(x)) sin derivar y lo multipliquemos por la derivada de g(x) = 2x, que seria g'(x) = 2, todo esto lo dividimos entre el denominador al cuadrado, asi:

Ahora todo es cuestión de simplificar:

 

DERIVADA DE UNA RAIZ

La derivada de la raíz enésima de una función es igual a la derivada del radicando partida por la n veces la raíz enésima de la función radicando elevada a n menos uno.

La derivada de la raíz cuadrada de una función es igual a la derivada del radicando partida por el duplo de la raíz.

Ejemplo:

Derivada en cadena

Si g es derivable en a y f es derivable en g(a) entonces f_°g es derivable en a y se verifica:

(f_°g)´(a) = f´ (g(a)).g´(a)

Ejemplo:

Derivada implícita

Funciones implícitas

Una correspondencia o una función está definida en forma implícita cuando no aparece despejada la y sino que la relación entre x e y viene dada por una ecuación de dos incógnitas cuyo segundo miembro es cero.

Derivadas de funciones implícitas

Para hallar la derivada en forma implícita no es necesario despejar y. Basta derivar miembro a miembro, utilizando las reglas vistas hasta ahora y teniendo presente que:

x'=1

En general y'≠1.

Por lo que omitiremos x' y dejaremos y'.

Cuando las funciones son más complejas vamos a utilizar una regla para facilitar el cálculo: